如何用度规表达克氏符？《张朝阳的物理课》再论克氏符

有了这样一组上基矢后，我们还可以把矢量表示成

这里的V_β就被称为矢量V的协变分量。

我们还可以计算矢量V和这些基矢的内积，它们分别是

这些计算说明：矢量V的逆变分量V^α既是矢量展开成下基矢的线性组合的组合系数，也是该矢量与相应指标的上基矢的内积，协变分量V_β既是矢量展开成上基矢的线性组合的组合系数，也是该矢量与相应指标的下基矢的内积。

我们在构造基矢的时候要求了上下基矢的内积等于克罗内克δ，但并没有要求上基矢的两两内积和下基矢的两两内积分别等于多少。由于这些内积的值是由两个携带分量指标的矢量计算出来的，我们可以把它们视为一个二阶张量的不同分量，记为

这个二阶张量就被称为度规，分别称g_αβ和g^αβ为协变度规和逆变度规。如果将逆变度规与上基矢缩并，也就是做如下所示的运算

运算到这一步，我们需要认识到，基矢e_α虽然带一个指标，但那并不是表示分量的指标，而只是标记它是第几个基矢。基矢本身就是一个矢量，也就是可以用一个不带指标的符号来标记

那么它与下基矢e_β进行内积运算后也会像一般的矢量那样得到其协变分量，再与上基矢e^β缩并后，就又得到了矢量自身

将U换回下基矢，就是

从这里可以看到，逆变度规和上基矢缩并后会得到下基矢。类似地，可以得到

由此，我们可以发现，度规具有互换对偶基矢的功能。类似地，还可以发现协变度规和逆变度规满足互逆的关系

以及，度规具有升降张量指标的功能

协变导数和克氏符

在矢量微积分中，一个矢量关于坐标的偏导数包含矢量分量的偏导和基矢的偏导，如果考虑这个偏导数的逆变分量，可以得到

其中定义了克氏符

如果采用的是坐标基矢，也就是基矢是由位置矢量对坐标的偏导来定义的

那么

也就是克氏符的两个下指标是对称的。需要声明的是，以上的偏导运算必须是在平直空间中进行的，当我们把这些结论用在弯曲空间中时，需要把弯曲空间等距地嵌入到高维平直空间后才能进行。以二维单位球面为例，我们需要把它嵌入到三维平直空间中，才能对矢量做合法的偏导运算，例如对于极角方向的坐标基矢，对极角求偏导后会得到垂直于二维球面的矢量

再将这一矢量与二维球面中的上基矢分别内积，就可以用这种方法得出相应的克氏符

也正是因为这一运算已经是在高维平直空间中进行的，所以在(1)式的第二个等号中我们可以交换两次求偏导的顺序。如果回到低维弯曲空间中来看，这对应了“空间的挠率为零”这一性质。

对于矢量偏导的协变分量，可以得到

最后一步用到了上下基矢互为对偶的性质

克氏符的度规表达式

在之前的课中，我们介绍过度规的计算公式

它可以由度规的协变散度为0推导出来。因为这个公式避免了对矢量求偏导，所以可以很方便地在弯曲空间中直接运算。本节课我们将说明，这个计算公式和上一节用矢量微积分导出的克氏符表达式是等价的。为了证明这一点，需要将度规用基矢的内积代入，对于上式三项分别得到

将上述三项组合回去，得到

其中再次利用了(1)式交换了基矢和偏导的两个指标。这样就说明了用计算公式(2)所得到的结果正是我们借助矢量微积分所定义的克氏符。

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